| galilette |
2007-05-27 21:55 |
似乎没什么简单的办法, 只好分类数了. 假设格子的边长是d (这里d=7)
1. 形状是 m x n的长方形(包括正方形)有 (d+1-m) x (d+1-n) 个, 对m和n求和 => 任意形状的长方形一共有
N1 = 1/4 x (d+1)^2 x d^2个
2.1 每个长方形(不包括正方形)可以通过切掉短边上的 1 个角生成直角梯形. 长方形有两条短边, 所以直角梯形的个数是长方形个数的 2 倍
2.2 每个长方形(不包括正方形)可以通过同时切掉两条短边上的角生成 1 个平行四边形. 所以平行四边形个数 = 长方形个数
2.3 长方形个数 = (N1 - 正方形个数), 边长是 n 的正方形有(d+1-n)^2个, 所以长方形个数有
N2 = N1 - (1^2 + 2^2 + ... + d^2) = N1 - 1/6 x d x (d+1) x (2d+1)
3. 等腰梯形可以看作内嵌在以它较长的底为对角线的正方形中. 每个边长是 n 的正方形可以生成 2 x (n-1) 个等腰梯形, 所以等腰梯形的个数有
N3 = sum over n from 1 to d: 2 x (n-1) x (d+1-n)^2
四边形总个数 = N1 + 3 * N2 + N3
这样可以得到答案 C |
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